(System of Linear Equations)
การศึกษาเรื่องระบบสมการเชิงเส้น และการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นถือว่าเป็นเรื่องพื้นฐานที่สำคัญ ในหัวข้อนี้จะแนะนำให้นักเรียนได้รู้จักระบบสมการเชิงเส้น พร้อมกับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
ฟีลด์ (Fields)
ในระบบจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน เรากล่าวถึงสมบัติทางพีชคณิตบางประการเกี่ยวกับการบวกและการคูณ ซึ่งเป็นสมบัติของฟิลด์
นิยาม
กำหนดเซต F ≠ Ø และมีการดำเนินการสองชนิดบนเซตF คือการดำเนินการบวกและการดำเนินการคูณ เซต F จะเรียกว่าฟิลด์ ก็ต่อเมื่อมีสมบัติดังนี้
1. ∀k,m ∈ F,k + m ∈ F
2. ∀k,m ∈ F,k + m = m + k
3. ∀k,m,n ∈ F,(k + m) + n = k + (m + n)
4. มีสมาชิกตัวหนึ่งในF เขียนแทนด้วย 0 ซึ่งทำให้ k + 0 = 0 + k = k
5. สำหรับแต่ละk ∈ F จะมีสมาชิก -k ซึ่งทำให้ k + (-k) = (-k) + k = 0
6. ∀k,m ∈ F,km ∈ F
7. ∀k,m ∈ F,km = mk
8. ∀k,m,n ∈ F,(km)n = k(mn)
9. มีสมาชิกตัวหนึ่งในF ซึ่งไม่เท่ากับ 0 เขียนแทนด้วย 1 ซึ่งทำให้ k1 = 1k = k
10. สำหรับแต่ละk ∈ F,k ≠ 0 จะมีสมาชิก k -1 ∈ F ซึ่งทำให้ kk -1 = k -1k = 1
11. ∀k,m,n ∈ F,k(m + n) = km + kn
ตัวอย่างที่ 1 เซตของจำนวนเต็ม พร้อมด้วยการดำเนินการดำเนินการบวกและการดำเนินการคูณ ไม่เป็นฟิลด์ เพราะไม่มีสมบัติข้อ 10.
ตัวอย่างที่ 2 เซตของจำนวนตรรกยะ พร้อมด้วยการดำเนินการดำเนินการบวกและการดำเนินการคูณเป็นฟิลด์
ตัวอย่างที่ 3 เซตของจำนวนจริง พร้อมด้วยการดำเนินการดำเนินการบวกและการดำเนินการคูณเป็นฟิลด์
ตัวอย่างที่ 4 เซตของจำนวนเชิงซ้อน พร้อมด้วยการดำเนินการดำเนินการบวกและการดำเนินการคูณเป็นฟิลด์
Note:
1. หากไม่กำหนดอย่างอื่น ฟิลด์ที่กล่าวถึงเป็นฟิลด์ของจำนวนจริง
2. จะเรียกสมาชิกของฟิลด์ว่า สเกลาร์ (Scalar) 
1. สมการเชิงเส้น
นิยาม
กำหนดให้ F เป็นฟิลด์ สมการที่อยู่ในรูป
a1 x1 + a2 x2 +… + an xn = b
เมื่อ x1,x2,…..,xn เป็นตัวแปร และ a1,a2,….,an, b เป็นสเกลาร์ใน F เรียกว่า สมการเชิงเส้น
คำตอบของสมการเชิงเส้น a1x1+ a2 x2 +… + an xn = b หมายถึง ลำดับของสเกลาร์ ซึ่งเมื่อแทนในสมการแล้ว จะได้สมการที่เป็นจริง
ตัวอย่างที่ 5 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้น
2x + 3y = -3
4x - 3y = 2z + 5
ix + (3 + 2i)y = 0
ตัวอย่างที่ 6 ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของสมการ ไม่ เชิงเส้น
x2 - 5y = 3
x + sin(y) = 0
ex + y = 1
นิยาม
กำหนดให้ F เป็นฟิลด์ ชุดของสมการที่อยู่ในรูป
a11x1+ a12x2+ …+ a1nx1 = b1
a21x1+ a22x2+ …+ a2nx1 = b2
.
.
.
amlxl + am2x2+ …+ amnxn = bm
เมื่อ x1,x2,...xn เป็นตัวแปรซึ่งมีจำนวนจำกัด และ aij,…,bi เป็นสเกลาร์ใน F เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้น
คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1nx1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n x1 = b2
.
.
.
aml xl + am2 x2 + …+ amn xn = b
หมายถึง ลำดับของสเกลาร์ ซึ่งเมื่อแทนในสมการแล้ว จะได้สมการที่เป็นจริงทุกสมการ
2. ระบบสมการเชิงเส้น
นิยามกำหนดให้ F เป็นฟิลด์ ชุดของสมการที่อยู่ในรูป
a11x1+ a12x2+ …+ a1nx1 = b1
a21x1+ a22x2+ …+ a2nx1 = b2
.
.
.
amlxl + am2x2+ …+ amnxn = bm
เมื่อ x1,x2,...xn เป็นตัวแปรซึ่งมีจำนวนจำกัด และ aij,…,bi เป็นสเกลาร์ใน F เรียกว่า ระบบสมการเชิงเส้น
คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1nx1 = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n x1 = b2
.
.
.
aml xl + am2 x2 + …+ amn xn = b
หมายถึง ลำดับของสเกลาร์ ซึ่งเมื่อแทนในสมการแล้ว จะได้สมการที่เป็นจริง ทุกสมการ
ขอขอบคุณ http://padungkead.blogspot.com/
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น